Функция u =4arcsin(xz+y^2-1) a)Градиент в точке М grad u =(du/dx)i+(du/dy)j+(du/dz)k grad u ={du/dx;du/dy;du/dz} Находим частные производные du/dx = [4/(корень(1-(xz+y^2-1)^2)]*z = 4z/корень(1-(xz+y^2-1)^2) В точке М(1/5;1;3) du/dx = 4*3/корень(1-((1/5)*3+1-1)^2) =12/корень(1-9/25) = =12/корень(16/25) =12/(4/5) =3*5 = 15 du/dy = [4/(корень(1-(xz+y^2-1)^2)]*2y = 8y/корень(1-(xz+y^2-1)^2) В точке М(1/5;1;3) du/dx = 8*1/корень(1-((1/5)*3+1-1)^2) =8/корень(1-9/25) = =8/корень(16/25) =8/(4/5) =2*5 = 10 du/dz = [4/(корень(1-(xz+y^2-1)^2)]*x = 4x/корень(1-(xz+y^2-1)^2) В точке М(1/5;1;3) du/dx = 4*(1/5)/корень(1-((1/5)*3+1-1)^2) =(4/5)/корень(1-9/25) = =(4/5)/корень(16/25) =(4/5)/(4/5) =1 grad u =15i+10j+k Координаты градиента в точке М grad u ={15;10;1} b) du/da = (du/dx)*cosa +(du/dy)*cosb +(du/dz)cosy Определим cosa, cosb, cosy cosa = x/IaI, cosb = y/IaI, cosy = z/IaI IaI длина вектора а=(1;-2;2)равна IaI = корень(ax^2+ay^2+az^2) = корень(1^2+(-2)^2+2^2) = корень(9) = 3 В точке М(1/5;1;3) cosa = (1/5)/3 = 1/15 cosb = 1/3 cosy = 3/3 =1 du/da = 15*(1/15)+10*(1/3)+1*1 = 1+10/3+1 =16/3 = 5,333... 7) x=ln(sint) y = cos^2(t) Найти y''xx если t = пи/6 Первая производная y'(x) y'(x) = y'(t)/x'(t) Вторая производная y''xx y''xx = (y''tt*x't-x''tt*y't)/(x't)^3 Находим производные y't = (cos^2t)' =2cost*(-sint) =-sin2t y''tt = (-sin2t)' = -2cos2t x't = (ln(sint))' = (1/sint)*cost = cost/sint =ctgt x''tt =(ctgt)' = -1/sin^2t Подставим в формулу y''xx = (-2cos2t*ctgt -(-1/sin2^t)(-sin2t))/(ctgt)^3 = = (-2cos2t*ctgt-sin2t/sin^2t)/(ctgt)^3 = = (-2cos2t*ctgt-2cost/sint)/(ctgt)^3 = (-2cos2t*ctgt-2ctgt)/(ctgt)^3 = = (-2cos2t-2)/(ctgt)^2 =-2(cos^2t+1)/(ctgt)^2 = -2(cos^2t-sin^2t+cos^2t+sin^2t)/(ctgt)^2= =-4cos^2t/(cos^2t/sin^2t) =-4sin^2t y''tt = -4sin^2t При t = пи/6 y''(пи/6) = -4sin^2(пи/6) = -4*(1/2)^2 =-4*(1/4) =-1